10. 행렬과 행렬식

1. 행렬(Matrix)

행렬은 m개의 행(row)과 n개의 열(column)을 가지고 있음

가로의 n 순서쌍을 행벡터(row vector), 세로의 m 순서쌍을 열벡터(column vector)라고도 부른다

 

행의 개수와 열의 개수가 같은 경우에 이를 정방행렬(square matrix)라고 한다

n개의 행과 n개의 열을 가지는 행렬을 n차 정방행렬(square matrix of order of n)이라고 한다

 

주대각선(main diagonal)

 

2. 행렬 연산 - 합과 차

 

3. 행렬 연산- 곱(multiplication)

행렬의 곱이 정의되기 위해서는 A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 같아야한다

 

행렬에서 덧셉의 교환 법칙은 성립하지만 곱셈에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다

 

4. 행렬 연산 - 스칼라 곱

행렬에서는 덧셈에서의 교환 법칙, 결합 법칙 및 스칼라 곱에 대한 배분 법칙이 성립하며, 덧셈에 대한 항등 법칙도 성립한다

 

5. 특수한 행렬

1) 대각행렬(Diagonal Matrix)

nxn 정방 행렬에서 대각선을 제외한 모든 항들이 0 인 행렬을 대각행렬이라고 한다

 

정방행렬 주대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고 각 대각항의 합을 대각합(trace)라고 한다

즉 행렬의 대각합은 행과 열 번호가 같은 성분들의 합

 

2) 항등행렬(identity matrix) 또는 단위행렬

대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1 인 nxn 행렬

 

3) 영행렬(zero matrix)

성분이 모두 0인 행렬

 

4) 전치행렬(Transpose martix)

주어진 행렬의 행과 열을 서로 바꾼 행렬

 

5) 대칭행렬(Symmetric matrix)과 교대행렬(Skewed-symmetric matrix)

이떤 정방행렬이 자신의 전치행렬과 똑같을때 대칭행렬이라고 한다

정방행렬이 자신의 전치행렬의 음수값과 똑같을때 교대행렬이라고 한다

 

6) 삼각행렬(Triangular matrix)

주대각선 아래에 있는 모든 항들이 0 인 정방행렬을 상부삼각행렬(upper triangular matrix)

주대각선 위에 있는 모든 항들이 0 인 정방행렬을 하부삼각행렬(lower triangular matrix)

상부삼각행렬과 하부삼각행렬을 통칭하여 삼각행렬

 

6. 기본행 연산(elementary row operation)

1) 어떤 두개의 행을 서로 바꾼다

2) 어떤 행에다 0이 아닌 상수를 곱한다

3) 어떤 행에다 상수를 곱한 후 다른 행에다 더한다

 

7. 행사다리꼴과 기약 행 사다리꼴

1) 행 사다리꼴(row echelon form)

- 0으로만 이루어진 행들은 만약 있는 경우 행렬의 아래쪽에 나타낸다

- 모두가 0은 아닌 행의 가장 왼쪽에 가장 처음 나타나는 0이 아닌 수를 피벗으로 삼는다

- 모두가 0은 아닌 연이은 두 행이 있으면 아래쪽 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽에 있다

이 세 조건을 모두 만족시키면!!

 

2) 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)

- 0으로만 이루어진 행들은 만약 있는 경우 행렬의 아래쪽에 나타낸다

- 모두가 0은 아닌 행의 가장 왼쪽에 가장 처음 나타나는 0이 아닌 수를 피벗으로 삼는다

- 모두가 0은 아닌 연이은 두 행이 있으면 아래쪽 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽에 있다

- 한 행의 피벗을 포함하는 열에는 피벗 이외의 항들은 모두 0이다

이 4가지 조건을 모두 만족시키면!!

 

가우스 소거법(Gauss elimination) : 전향단계까지의 연산 과정을 실행하여 행 사다리꼴을 구하는 방법

가우스-조단 소거법(Gauss-Jordan elimination)은 후향단계까지 실행하는 소거법

** 전향단계(forward phase): 피벗의 아랫부분 0 되게 한다

** 후향단계(backward phase): 피벗의 윗부분까지 0이 되도록 행 연산 실행

 

계수(rank)

주어진 행렬을 행 사다리꼴로 만들었을때 행 전체가 0이 아닌 행의 개수

 

8. 행렬식(Determinant)

정방행렬에 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수

스칼라 값이 0이 아닐때 정칙행렬(non-singular matrix)

스칼라 값이 0일 때 특이행렬(singular matrix)

 

9. 행렬식의 성질들

1)  행렬에서 임의의 두 행(또는 열)이 같으면 행렬식의 값은 0이다

2) 임의의 두 행(열)을 바꾸어서 만든 행렬은 원래 행렬에서 부호만 바뀐다

3) 행렬식의 값은 그 전치행렬의 행렬식과 같다

4) Det(AB) = Det(A) Det(B)

5) 행렬식의 어떤행(또는 열)의 각 원소에 같은수를 곱해 얻은 행렬식은 처음 행렬식에 그 수를 곱한 것과 같다

6) 행렬의 한 행(열)에 있는 모든 원소가 0이면 Det(A) = 0 

 

10. 역행렬(inverse matrix)

AB = BA = I 가 성립하는 행렬 B를 A의 역행렬이라고 한다

 

가우스-조단의 역행렬을 구하는 알고리즘

1) 원래의 A 행렬에다 항등행렬 I를 첨가하여 첨가행렬로 만든다

2) 행렬 A 부분이 항등행렬로 바뀔 때까지 행 연산을 계속한다

3) A가 가역적 행렬인지 결정

 

주어진 행렬의 역행렬을 알고 있을 때 A-1 에다 b를 곱하면 선형시스템의 해를 구할 수 있다